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線性代數Exercise 1.3.23

Definition of Sum If $S_{1}$ and $S_{2}$ are nonempty subset of a vector space $V$, then the **sum** of $S_{1}$ and $S_{2}$, denoted $S_{1}+S_{2}$, is the set $\left\{ x+y:x \in S_{1} \text{ and }y\in S_{2} \right\}$. 23 Let $W_{1}$ and $W_{2}$ be subspaces of a vector space $V$. Show that $W_{1}+W_{2}$ is a subspace of $V$ that contains both $W_{1}$ and $W_{2}$ 根據課本17頁的說明，我們只需證明以下三點 1. $W_{1}+W_{2}$ 包含著$V$ 的零向量 2. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的向量加法之下有封閉性 3. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的純量積運算之下有封閉性 以下我們逐一證明： 包含零向量 由於$W_{1}$ 以及$W_{2}$ 都是$V$ 的子空間，所以零向量分別存在於$W_{1}$ 以及$W_{2}$，也就是說 $$0\in W_{1},\text{ and }0\in W_{2}$$ 又因為零向量可以寫成零向量的和，也就是$0=0+0$，所以 $$0\in W_{1}+W_{2}$$ 向量加法封閉性 令$v,u\in W_{1}+W_{2}$，也是說存在$W_{1}$中的向量$x_{1},x_{2}\in W_{1}$，以及 $W_{2}$ 中的向量$y_{1},y_{2}\in W_{2}$ ，使得 $$v=x_{1}+y_{1},\text{ and }u=x_{2}+y_{2}$$ 如此一來， $$v+u=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})$$ 由於$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ 這四個向量都是$V$ 中的向量，所以我們可以使用*結合律*以及*分配律* 來接著推導 $$v+u=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\tag{1}$$ 注意，由於$W_{1}$ 是子空間，而且$x_{1},x_{2}\in
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自然常數為何是無理數

 關於自然常數$e$ 有很多等價的定義，如以下： $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$ 而對於其所延伸出來的自然指數函數$f(x)=e^x$ 我們有以下定義： \[e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}\cdots\] 在數學的世界，自然常數有許多特殊的性質使得它無處不見。其中一個就是自然常數是無理數，也就是無法表示為兩個整數相除，用數學的語言表達就是： \[\frac{p}{q}\neq \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!}\right),\;\forall p,q\in\mathbb{Z}\] 以下開始證明 證明： 這個證明是參考Apostol 的Mathmatical Analysis 當中的Theorem 1.11，有興趣的可以自行參考。 首先我們有 \[e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\] 接著我們計算$e^{-1}$ 與級數部分和的差： \begin{align}e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}&=\sum_{k=2N}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\\&=\frac{1}{(2N)!}-\frac{1}{(2N+1)!}+\frac{1}{(2N+2)!}-\frac{1}{(2N+3)!}+\frac{1}{(2N+4)!}\cdots\\&\leq\frac{1}{(2N)!}\end{align} 推得 \begin{equation}0\leq (2N-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2N}\leq\frac{1}{2}\end{equation} 其中$(2N-1)!\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\righ
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分數除法

除數為整數 我們人生當中第一次學到除法，是將除法理解為「平分」。「$9\div 3=3$ 的意思就是將$9$ 個東西平分成 $3$份，每一份有$3$」，諸如此類。但這種對除法的具象化理解，到了除數變成分數的時候，就無法使用了。($5\div\frac{2}{3}$，把$5$ 個東西分給$\frac{2}{3}$ 個人？) 除數為分數 於是我們必須對除法有新的理解，而這個裡解就是，當我們在求$a\div b$ 的時候，我們其實在問「$a$ 是由$b$個『什麼』構成的？」，或是換另一種說法，「$a\div b=c$ 的意思就是$a$ 是由$b$ 個$c$ 構成的（也可以表達成$a=b\times c$）」。 那首先我們要先確認一下，上面這兩種解釋在除數為整數時是相同的。也就是要確認，當$m,n$ 是整數的時候，「$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$」和「$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的」是同一回事。 其實很直觀，將$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$，也就是說，把這$n$ 份$x$ 合再一起，就能得到$m$ ，因此$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的。在此我們確認完成！ 先來看一題目：$5\div\frac{2}{3}=x$。 依據我們對除法的新理解，上面這個方程式描述的是「$5$ 是由$x$ 個$\frac{2}{3}$ 構成的」。 由於$3$ 個$\frac{2}{3}$ 是$2$，$\frac{1}{2}$ 個$2$ 是$1$，而$5$ 個$1$ 是$5$，因此$3\times\frac{1}{2}\times 5=\frac{15}{2}$ 個$\frac{2}{3}$ 是$5$ ，因此$x=15$。 結語 如果是能夠裡解除跟乘法互為反運算，那就能有以下這個等價關係 $$a\div b=c\iff c\times b=a$$ 那在計算 $$m\div\frac{r}{q}=x\iff x\times \frac{r}{q}=m$$ 那由於 $$\big(m\times\frac{q}{r}\big)\times\frac{r}{q}=m\implies x=m\times \frac{q}{r}$$ 我們才有結論$m\div\frac{r}{q}=m\times\frac{q}{r}$。 或是如果能夠理解除法其實和乘法反元素相乘，那也可以變成去找
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點法式

點法式 在高中，我們學習到點法式，透過這種方法，我們可以利用面的法向量和其中一個該面通過的點來描述這個面。舉例來說，考慮一個面，通過座標$a_0=(1,1,2)$，並以向量$\vec n=(3,1,2)$為法向量。這個平面可以被表達為「收集那些滿足『與$a_0$ 連線垂直於$\vec n$ 』的點」，用集合的敘述表示為 $$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid(1-x,1-y,2-z)\perp(3,1,2)\}$$，由於$\vec a\perp \vec b\iff \vec a\cdot\vec b=0$，所以還可以寫成 $$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid3(1-x)+1(1-y)+2(2-z)=0\}$$ 這個平面，或者說這個集合，實際上也是方程式：： $$3-3x+1-y+4-2z=0$$ 或 $$3x+y+2z=8$$ 的解集合。 觀察： 觀察到三元一次不等式的解集合形成一個平面，而方程式的係數則代表這個解集合（平面）的法向量。
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內積以及它的連續性

在一個向量空間當$V$ 中，內積指的是一個二元運算$V\times V\to\mathbb{C}$，必須滿足以下性質 $(x+z,y)=(x,y)+(z,y)$，其中$x,y$ 是$V$ 中的任意向量。 $\overline{(x,y)}=(y,x)$ $(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$，其中$\alpha\in\mathbb{R}$，$x,y$ 是$V$ 中的任意向量。 $(x,x)\geq 0$ 對任意$x\in V$。 $(x,x)=0\iff x=0\in V$ Cauchy–Schwarz inequality $$|(x,y)|\leq (x,x)(y,y)$$ Example 若我們考慮向量空間 $\mathbb{R}^n$ ，以及定義兩向量$x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)$ 的內積為 $$(x,y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$ 那麼Cauchy–Schwarz inequality 告訴我們 $$|x_1y_1+\cdots+ x_ny_n|\leq (x_1^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+\cdots +y_n^2)$$ 推導 對任意$x\in\mathbb{R}$ $$\begin{align*} & & &(a_1x+b)^2+\cdots +(a_nx+b)^2 &\geq 0\\ &\implies & &(a_1^2+\cdots +a_n^2)x^2+2(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+\cdots+ b_n^2)&\geq 0\\ \end{align*}$$ 令$x=-(\sum_{k=1}^n a_kb_k)/(\sum_{k=1}^n a_k^2)$，推得 $$\begin{align*} &&0&\leq(\sum_{k=1}^n a_k^2)\Big(\frac{(\sum_{k=1}^n a_kb_k)}{(\sum_{k=1}^n a_k^2)}\Big)^2 -2\frac{(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}{(\sum_{k=1}^n a_k^2)}+(\sum_{k=1}^n b_k^2)\\
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連續函數的合成

 判斷以下這些函數在給定的點是否連續。 1. $\sin(\frac{1}{x}),\;x=2$ 2. $\ln(1+\cos(x)),\;x=\pi$ 以上這兩個函數都可以看做成是函數的合成。 其中： 1. $\sin(\frac{1}{x})=f\circ g(x),\;f(y)=\sin(y),g(x)=\frac{1}{x}$  2. $\ln(1+\cos(x))=f\circ g(x),f(y)=\ln(y),\;g(x)=1+\cos(x)$ 合成函數$f\circ g$ 的連續性其實是可以從$f,g$ 各自的連續性看出來的，以下介紹兩個有關於合成函數的連續性的定理。 定理1 若$f$ 在$b$ 點連續 (i.e $\lim_{y\to b}f(y)=f(b)$)，而且$\lim_{x\to a}g(x)=b$，則$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(b)$。換句話說 $$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$$ 證明： 因為$\lim_{y\to b}f(y)=f(b)$，所以對任意$\epsilon>0$，存在$\delta(x)>0$ 使得 $$|y-b|<\delta(x)\implies |f(y)-f(b)|<\epsilon$$ 又因為$\lim_{x\to a}g(x)=b$， 存在$\delta>0$ 使得 $$|x-a|<\delta\implies|g(x)-b|<\delta(\epsilon)$$ 將前面的敘述串連「對任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得 $$|x-a|<\delta\implies |g(x)-b|<\delta(\epsilon)\implies|f(g(x))-f(b)|=|f(g(x))-f(\lim_{x\to a}g(x))|<\epsilon$$ 」 換句話說， $$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))=f(b)$$ 定理2 如果$f$ 在$a$ 點連續，$g$ 在$f(a)$ 點連續，則$g\circ f$ 在$a$ 點連續。 證明： 由於$\lim_{y\to f(a)}=g(f(a))$，對任意$
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極限值的定義

 「當$x$ 逼近$2$，$x^2$ 會逼近$4$」。但是有多近？為什麼$x^2$ 不是逼近$3.99$？(事實上當$x$ 在$2$ 附近時，$x$ 看起來確實滿靠近$3.99$的...) 。 為了解決以上這種曖昧不明的情形，必須嚴格定義極限值，讓每個人對極限值的有相同的判斷。 所以我們想像一下手邊有個滑桿，可以控制$x$ 的值，並且有個螢幕會顯示$x^2$ 的值。如我們想要讓$x^2$ 在$4\pm 1$ 附近 (i.e $3<x^2<5$)，那只要讓$x$ 在$2\pm 0.2$ 附近就能達成；如我們想要讓$x^2$ 在$4\pm 0.5$ 附近 (i.e $3<x^2<5$)，那只要讓$x$ 在$2\pm 0.1$ 附近就能達成。 乍看之下，每當我們希望$x^2$在$4\pm \epsilon$ 附近 (i.e $4-\epsilon <x^2<4+\epsilon$)，我們總能找到一個相對的$\delta>0$ ，使得只要$x$ 在$2\pm \delta$ (i.e $2-\delta <x<2+\delta$)附近就能夠達成。 用比較正式的方式來說：「對所有$\epsilon>0$，皆存在一個$\delta>0$，使得若$|x-2|<\delta$ 則$|x^2-4|<\epsilon$」 回到之前的問題，為什麼$x$ 趨近$2$ 時，$x^2$ 不會逼近$3.9$？難道存在一個$\epsilon$，使得當我們希望$x^2$ 在$3.9\pm \epsilon$ 附近時，無法找到任何一個$\delta$ ，透過讓$x$ 在$2\pm \delta$ 附近來能達成？是的。 當我們希望$x^2$ 在$3.9\pm 0.1$ 附近時 (i.e $3.8<x^2<4$)，無論$\delta$ 取得多小，都無法透過讓$x$ 在$2\pm \delta$ 附近來能達成$3.8<x^2<4$ 的要求。 用比較正式的方式來說：「存在$\epsilon=0.1$ 使得，對任何$\delta>0$，都無法滿足『若$|x-2|<\delta$ 則$|x^2-3.9|<0.1$』。 ## 定義 $$\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\
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