點法式

點法式

在高中，我們學習到點法式，透過這種方法，我們可以利用面的法向量和其中一個該面通過的點來描述這個面。舉例來說，考慮一個面，通過座標$a_0=(1,1,2)$，並以向量$\vec n=(3,1,2)$為法向量。這個平面可以被表達為「收集那些滿足『與$a_0$ 連線垂直於$\vec n$ 』的點」，用集合的敘述表示為

$$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid(1-x,1-y,2-z)\perp(3,1,2)\}$$，由於$\vec a\perp \vec b\iff \vec a\cdot\vec b=0$，所以還可以寫成

$$\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid3(1-x)+1(1-y)+2(2-z)=0\}$$

這個平面，或者說這個集合，實際上也是方程式：：

$$3-3x+1-y+4-2z=0$$

或

$$3x+y+2z=8$$

的解集合。

觀察：

觀察到三元一次不等式的解集合形成一個平面，而方程式的係數則代表這個解集合（平面）的法向量。