如何表示向量

 第一次接觸向量是在高中，那時接觸到的是平面向量，也就是$\mathbb{R}^2$ 向量。那個時候我們被教說：「向量就是有方向有長度的箭頭。我們把箭頭的根部移到原點，看看箭頭的頂點位於哪個座標，就用該座標來代表該向量。」

以至於說，除了用箭頭代表向量，也同時會用數對$(x_{1},y_{1})$ 代表。

用數對代表向量是一個好方法。畢竟若是用箭頭來作為代表向量的主要方式，無論是在運算上，溝通上，寫作上，一定都相當不方便。

現在我們長大了，大學了，學到了抽象向量，知道向量不再只是箭頭，向量也可能是多項式、矩陣、函數、數列等等。然而，我們還是希望能夠像在高中時，用數對來表達那些醜陋的向量。所以我們以下我們要開始介紹究竟用數對表達向量的精神是什麼？以及我們該如何延續這個精神！

The representation of vector

當我們要幫一個向量取名字，我們需要一點依據。比方說，當我們想幫
取一個名字，很自然的會想要取$(3,2)$，因為這個向量就是從原點指到$(3,2)$ 嘛，就這麼簡單！但事實上，其實我們有隱藏了兩個基本向量在這個情境之中。
如圖所示，紅色的與藍色的。而原先的向量是三個紅色向量加兩個藍色向量，所以我們稱黑色向量為$(3,2)$。

但如果今天心血來潮，你說：「這個基本向量爛透了，我不喜歡！我要換一個！」，可不可以？可以！我們現在換換看。
如上圖，我們令上圖的紅色向量與藍色向量為新的基本向量。如此一來，原本的黑色向量還會是3個紅色向量加2個藍色向量嗎？當然不會。

所以問題來了！原本的那個黑色箭頭，是多少個新紅色箭頭，加多少的新藍色箭頭？我們看下圖。

由於原本那個黑色的向量是2個新紅色向量加3個新藍色向量，所以我們會說：「在這個基本向量的設定之下，黑色向量的表示法為$(2,3)$」

由前面的討論，我們觀察出一件重要的事情：「**不同基本向量的設定，會讓同樣的向量，有不同的表示方法。**」

例子

我們以$\mathbb{R}^3$ 向量為例，如果我令$v=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$，我設定基本向量為

$$\beta=\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \right\} $$

由於

$$v= 2\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+(-1)\cdot\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+3\cdot\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$

所以在基本向量$\beta$的設定之下，我們知道$v$ 有表示法$\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$。為了讓向量本體與向量的表示法之間做出區隔，我們會用符號$[v]_{\beta}$ 來代表「$v$ 在基本向量$\beta$ 之下的表示法」。也就是會寫成

$$[v]_{\beta}=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}。$$

這看起來超多此一舉。向量本來就叫$\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$，然後又說這個向量的表示法是$\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$ ，簡直莫名其妙。確實。所以，以下我們換另一個基本向量，來試著進一步體會向量表示法的精神。

我們令新的基本向量為

$$\gamma=\left\{ \begin{bmatrix}1\\-2\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\-1\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\right\} $$

由於

$$v=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}=(-3)\cdot\begin{bmatrix}1\\-2\\0\end{bmatrix}+2\cdot\begin{bmatrix}0\\-1\\-1\end{bmatrix}+5\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}$$
所以

$$[v]_{\gamma}=\begin{bmatrix}-3\\2\\5\end{bmatrix}$$

我們過去都沒談論到有關於基本向量怎麼找的事情，是隨便找就好嗎？隨便找會有什麼問題？我們先破題！直接告訴你「基本向量不能亂找！」，如果亂找可能會出現兩個問題
  1. 有某些向量沒有表示法
  2. 有某些向量有超過一種表示法

以後的文章會舉例說明，並且詳細告訴你該如何避免這種事情發生。

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