淺談線性轉換

粗略的說，線性變換（linear transform），是指一個從一個向量空間到另一個向量空間（或同一向量空間）的映射，該映射保持向量的加法和數量乘法運算。

具體而言，令 $V$ 和 $W$ 是兩個向量空間，則一個線性變換 $T: V \to W$ ，是一個從$V$ 到$W$ 的函數，並且滿足以下兩個條件：

1. 對於所有的 $u, v \in V$，有 $T(u + v) = T(u) + T(v)$
2. 對於所有的 $v \in V$ 和純量 $\alpha \in \mathbb{R}$，
   $$T(\alpha v) = \alpha T(v)。$$

What does a linear transformation look like?

高中的時候我們怎麼描述一個函數嗎？高中時，我們最常面對的是實數函數，更仔細地說，是從實數映射到實數的函數。在那個時候，我們通常這麼說：「我們定義函數$f$，為$f(x)=2x+4$」。我們仔細去體會這句話，$f$ 是函數的名字，而「$f(x)=2x+4$」 是定義函數的方法。有了這個定義，我們就能夠任意地將數子填入$x$的欄位，來表達。我們會用$f(2)$ 來表達「對這個函數輸入$2$時的輸出」，我們會用「$2\times 2+4$」 來計算「輸入$2$ 時的函數值」。這一切，同樣會繼承到我們在今天面對線性轉換的時刻。

回顧那些常見的向量空間，有column vector space、polynomial space、matrix space等等，線性轉換可以在不同的向量空間之中做轉換，例如說，從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換、從$\mathbb{R}^3$ 到$P_{3}$ 的轉換，或是說從$M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ 到$\mathbb{R} ^4$ 的轉換。以下一一舉例。

從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換

我們定義線性轉換$T_1 :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$

$$T_1\left(\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a_{1}+a_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}$$

，以下是計算$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ 送進$T_1$ 的結果，

$$T_{1}\left(\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}。$$

從$\mathbb{R}^3$ 到$P_{3}$ 的轉換

我們定義線性轉換$T_{2}:\mathbb{R}^3\to P_{3}$ 為

$$T_{2}\left( \begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix} \right) =a_{1}+a_{2})x^3+a_{3}x^2+(a_{3}-a_{2})x-2a_{3}$$

，以下是計算$\begin{bmatrix}2\\-1\\5\end{bmatrix}$ 送進$T_{2}$ 的結果，

$$\begin{align}T_{2}\left( \begin{bmatrix}2\\-1\\5\end{bmatrix} \right) &=(2+(-1))x^3+5x^2+(5-(-1))x-2\times {5}\\&=x^3+5x^2+6x-10\end{align}$$

從$M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ 到$\mathbb{R} ^4$ 的轉換

我們定義線性變換$T_3:M_{2\times 3}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^4$ 為

$$T_{3}\left( \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}a_{11}+a_{13}\\a_{21}-2a_{22}\\3a_{12}\\3a_{23}-a_{11}\end{bmatrix}$$

，以下是計算$\begin{bmatrix}2&2&1\\-1&1&8\end{bmatrix}$ 送進$T_{2}$ 的結果

$$T_{3}\left( \begin{bmatrix}2&2&1\\-1&1&8\end{bmatrix} \right) =\begin{bmatrix}2+1\\-1-2\times 1\\3\times 2\\3\times 8-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-3\\6\\22\end{bmatrix}$$