線性代數Exercise 1.3.23

Definition of Sum

If S1 and S2 are nonempty subset of a vector space V, then the **sum** of S1 and S2, denoted S1+S2, is the set {x+y:x∈S1 and y∈S2}.


23

Let W1 and W2 be subspaces of a vector space V.

Show that W1+W2 is a subspace of V that contains both W1 and W2

根據課本17頁的說明，我們只需證明以下三點

1. W1+W2 包含著V 的零向量

2. W1+W2 在V 的向量加法之下有封閉性

3. W1+W2 在V 的純量積運算之下有封閉性

以下我們逐一證明：

包含零向量

由於W1 以及W2 都是V 的子空間，所以零向量分別存在於W1 以及W2，也就是說
0∈W1, and 0∈W2

又因為零向量可以寫成零向量的和，也就是0=0+0，所以
0∈W1+W2


向量加法封閉性
令v,u∈W1+W2，也是說存在W1中的向量x1,x2∈W1，以及 W2 中的向量y1,y2∈W2 ，使得
v=x1+y1, and u=x2+y2

如此一來，
v+u=(x1+y1)+(x2+y2)

由於x1,x2,y1,y2 這四個向量都是V 中的向量，所以我們可以使用*結合律*以及*分配律* 來接著推導
v+u=(x1+x2)+(y1+y2)

注意，由於W1 是子空間，而且x1,x2∈W1 ，所以我們可以利用W1 自身具備的加法封閉性得出
x1+x2∈W1

基於相同的原因，我們也能得到
y1+y2∈W2

如此一來，根據(1) 推得
v+u∈W1+W2

純量積運算之下有封閉性

令v∈W1+W2 ，c∈R，存在x1∈W1,y1∈W2 使得
v=x1+y1

使用向量空間V 的分配律，我們能夠有以下推論
c⋅v=c⋅(x1+y1)=c⋅x1+c⋅y1

因為W1 是V 的子空間，所以滿足純量積封閉性，所以
c⋅x1∈W1

基於同樣原因，我們有以下推論
c⋅y1∈W2

如此一來，根據(2) ，我們推得
c⋅v∈W1+W2


Proof  that any subspace of V that contains both W1 and W2 must also contain W1+W2

以下是證明：任何包含 W1 和 W2 的 V 的子空間，必須也包含 W1+W2。

假設

令 U 為 V 的一個子空間，且滿足 W1⊆U 和 W2⊆U。我們要證明 W1+W2⊆U。

證明

根據 W1+W2 的定義，我們知道：
W1+W2={x+y:x∈W1 且 y∈W2}

因此，對於任意 v∈W1+W2，存在 x∈W1 和 y∈W2 使得：
v=x+y

由於我們假設 W1⊆U 和 W2⊆U，因此 x∈U 且 y∈U。
此外，因為 U 是子空間，所以它在向量加法下封閉。也就是說，如果 x,y∈U，則 x+y∈U。
因此，v=x+y∈U。


結論

因此，對於任意 v∈W1+W2，我們都有 v∈U。這表明 W1+W2⊆U。
由此證明，任何包含 W1 和 W2 的子空間 U 必須也包含 W1+W2。

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