線性代數Exercise 1.3.23

Definition of Sum

If $S_{1}$ and $S_{2}$ are nonempty subset of a vector space $V$, then the **sum** of $S_{1}$ and $S_{2}$, denoted $S_{1}+S_{2}$, is the set $\left\{ x+y:x \in S_{1} \text{ and }y\in S_{2} \right\}$.


23

Let $W_{1}$ and $W_{2}$ be subspaces of a vector space $V$.

Show that $W_{1}+W_{2}$ is a subspace of $V$ that contains both $W_{1}$ and $W_{2}$

根據課本17頁的說明，我們只需證明以下三點

1. $W_{1}+W_{2}$ 包含著$V$ 的零向量

2. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的向量加法之下有封閉性

3. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的純量積運算之下有封閉性

以下我們逐一證明：

包含零向量

由於$W_{1}$ 以及$W_{2}$ 都是$V$ 的子空間，所以零向量分別存在於$W_{1}$ 以及$W_{2}$，也就是說
$$0\in W_{1},\text{ and }0\in W_{2}$$
又因為零向量可以寫成零向量的和，也就是$0=0+0$，所以
$$0\in W_{1}+W_{2}$$


向量加法封閉性
令$v,u\in W_{1}+W_{2}$，也是說存在$W_{1}$中的向量$x_{1},x_{2}\in W_{1}$，以及 $W_{2}$ 中的向量$y_{1},y_{2}\in W_{2}$ ，使得
$$v=x_{1}+y_{1},\text{ and }u=x_{2}+y_{2}$$
如此一來，
$$v+u=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})$$
由於$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ 這四個向量都是$V$ 中的向量，所以我們可以使用*結合律*以及*分配律* 來接著推導
$$v+u=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\tag{1}$$
注意，由於$W_{1}$ 是子空間，而且$x_{1},x_{2}\in W_{1}$ ，所以我們可以利用$W_{1}$ 自身具備的加法封閉性得出
$$x_{1}+x_{2}\in W_{1}$$
基於相同的原因，我們也能得到
$$y_{1}+y_{2}\in W_{2}$$
如此一來，根據$(1)$ 推得
$$v+u\in W_{1}+W_{2}$$

純量積運算之下有封閉性

令$v\in W_{1}+W_{2}$ ，$c\in \mathbb{R}$，存在$x_{1}\in W_{1},\;y_{1}\in W_{2}$ 使得
$$v=x_{1}+y_{1}$$
使用向量空間$V$ 的分配律，我們能夠有以下推論
$$c\cdot v=c\cdot(x_{1}+y_{1})=c\cdot x_{1}+c\cdot y_{1}\tag{2}$$
因為$W_{1}$ 是$V$ 的子空間，所以滿足純量積封閉性，所以
$$c\cdot x_{1}\in W_{1}$$
基於同樣原因，我們有以下推論
$$c\cdot y_{1}\in W_{2}$$
如此一來，根據$(2)$ ，我們推得
$$c\cdot v\in W_{1}+W_{2}$$


Proof  that any subspace of $V$ that contains both $W_{1}$ and $W_{2}$ must also contain $W_{1}+W_{2}$

以下是證明：任何包含 $W_1$ 和 $W_2$ 的 $V$ 的子空間，必須也包含 $W_1 + W_2$。

假設

令 $U$ 為 $V$ 的一個子空間，且滿足 $W_1 \subseteq U$ 和 $W_2 \subseteq U$。我們要證明 $W_1 + W_2 \subseteq U$。

證明

根據 $W_1 + W_2$ 的定義，我們知道：
$$W_1 + W_2 = \{x + y : x \in W_1 \text{ 且 } y \in W_2 \}$$
因此，對於任意 $v \in W_1 + W_2$，存在 $x \in W_1$ 和 $y \in W_2$ 使得：
$$v = x + y$$
由於我們假設 $W_1 \subseteq U$ 和 $W_2 \subseteq U$，因此 $x \in U$ 且 $y \in U$。
此外，因為 $U$ 是子空間，所以它在向量加法下封閉。也就是說，如果 $x, y \in U$，則 $x + y \in U$。
因此，$v = x + y \in U$。


結論

因此，對於任意 $v \in W_1 + W_2$，我們都有 $v \in U$。這表明 $W_1 + W_2 \subseteq U$。
由此證明，任何包含 $W_1$ 和 $W_2$ 的子空間 $U$ 必須也包含 $W_1 + W_2$。

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