自然常數為何是無理數
關於自然常數e 有很多等價的定義，如以下：
- lim
- \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}
而對於其所延伸出來的自然指數函數f(x)=e^x 我們有以下定義：
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}\cdots
在數學的世界，自然常數有許多特殊的性質使得它無處不見。其中一個就是自然常數是無理數，也就是無法表示為兩個整數相除，用數學的語言表達就是：
\frac{p}{q}\neq \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!}\right),\;\forall p,q\in\mathbb{Z}
以下開始證明
證明：
這個證明是參考Apostol 的Mathmatical Analysis 當中的Theorem 1.11，有興趣的可以自行參考。
首先我們有
e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}
接著我們計算e^{-1} 與級數部分和的差：
\begin{align}e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}&=\sum_{k=2N}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\\&=\frac{1}{(2N)!}-\frac{1}{(2N+1)!}+\frac{1}{(2N+2)!}-\frac{1}{(2N+3)!}+\frac{1}{(2N+4)!}\cdots\\&\leq\frac{1}{(2N)!}\end{align}
推得
\begin{equation}0\leq (2N-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2N}\leq\frac{1}{2}\end{equation}
其中(2N-1)!\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k} 一定是整數，而若e^{-1} 是有理數，那必然存在一個夠大的N，使得(2N-1)!e^{-1}是整數。
觀察等式(4)，上面的結論告訴我們，若e^{-1} 是有理數，那麼存在一個\tilde{N}，使得
(2\tilde{N}-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2\tilde{N}-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2\tilde{N}}
是一個存在於0 和\frac{1}{2} 之間的整數。由此便產生一個矛盾。
因此，e^{-1} 是無理數，推得e 也是無理數。
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