自然常數為何是無理數

 關於自然常數$e$ 有很多等價的定義，如以下：

  • $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
  • $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$
而對於其所延伸出來的自然指數函數$f(x)=e^x$ 我們有以下定義：
\[e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}\cdots\]

在數學的世界，自然常數有許多特殊的性質使得它無處不見。其中一個就是自然常數是無理數，也就是無法表示為兩個整數相除，用數學的語言表達就是：
\[\frac{p}{q}\neq \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!}\right),\;\forall p,q\in\mathbb{Z}\]

以下開始證明

證明：

這個證明是參考Apostol 的Mathmatical Analysis 當中的Theorem 1.11，有興趣的可以自行參考。

首先我們有
\[e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\]
接著我們計算$e^{-1}$ 與級數部分和的差：
\begin{align}e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}&=\sum_{k=2N}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\\&=\frac{1}{(2N)!}-\frac{1}{(2N+1)!}+\frac{1}{(2N+2)!}-\frac{1}{(2N+3)!}+\frac{1}{(2N+4)!}\cdots\\&\leq\frac{1}{(2N)!}\end{align}

推得
\begin{equation}0\leq (2N-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2N}\leq\frac{1}{2}\end{equation}

其中$(2N-1)!\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}$ 一定是整數，而若$e^{-1}$ 是有理數，那必然存在一個夠大的$N$，使得$(2N-1)!e^{-1}$是整數。 

觀察等式(4)，上面的結論告訴我們，若$e^{-1}$ 是有理數，那麼存在一個$\tilde{N}$，使得
\[ (2\tilde{N}-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2\tilde{N}-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2\tilde{N}}\] 
是一個存在於$0$ 和$\frac{1}{2}$ 之間的整數。由此便產生一個矛盾。

因此，$e^{-1}$ 是無理數，推得$e$ 也是無理數。















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