極限值的定義

 「當$x$ 逼近$2$，$x^2$ 會逼近$4$」。但是有多近？為什麼$x^2$ 不是逼近$3.99$？(事實上當$x$ 在$2$ 附近時，$x$ 看起來確實滿靠近$3.99$的...) 。

為了解決以上這種曖昧不明的情形，必須嚴格定義極限值，讓每個人對極限值的有相同的判斷。

所以我們想像一下手邊有個滑桿，可以控制$x$ 的值，並且有個螢幕會顯示$x^2$ 的值。如我們想要讓$x^2$ 在$4\pm 1$ 附近 (i.e $3<x^2<5$)，那只要讓$x$ 在$2\pm 0.2$ 附近就能達成；如我們想要讓$x^2$ 在$4\pm 0.5$ 附近 (i.e $3<x^2<5$)，那只要讓$x$ 在$2\pm 0.1$ 附近就能達成。

乍看之下，每當我們希望$x^2$在$4\pm \epsilon$ 附近 (i.e $4-\epsilon <x^2<4+\epsilon$)，我們總能找到一個相對的$\delta>0$ ，使得只要$x$ 在$2\pm \delta$ (i.e $2-\delta <x<2+\delta$)附近就能夠達成。

用比較正式的方式來說：「對所有$\epsilon>0$，皆存在一個$\delta>0$，使得若$|x-2|<\delta$ 則$|x^2-4|<\epsilon$」

回到之前的問題，為什麼$x$ 趨近$2$ 時，$x^2$ 不會逼近$3.9$？難道存在一個$\epsilon$，使得當我們希望$x^2$ 在$3.9\pm \epsilon$ 附近時，無法找到任何一個$\delta$ ，透過讓$x$ 在$2\pm \delta$ 附近來能達成？是的。

當我們希望$x^2$ 在$3.9\pm 0.1$ 附近時 (i.e $3.8<x^2<4$)，無論$\delta$ 取得多小，都無法透過讓$x$ 在$2\pm \delta$ 附近來能達成$3.8<x^2<4$ 的要求。

用比較正式的方式來說：「存在$\epsilon=0.1$ 使得，對任何$\delta>0$，都無法滿足『若$|x-2|<\delta$ 則$|x^2-3.9|<0.1$』。

## 定義

$$\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\epsilon>0\,\exists\delta(\epsilon)>0,\text{s.t}|x-a|<\delta(\epsilon)\implies|f(x)_L|<\epsilon$$