連續函數的合成

 判斷以下這些函數在給定的點是否連續。

1. $\sin(\frac{1}{x}),\;x=2$

2. $\ln(1+\cos(x)),\;x=\pi$

以上這兩個函數都可以看做成是函數的合成。

其中：

1. $\sin(\frac{1}{x})=f\circ g(x),\;f(y)=\sin(y),g(x)=\frac{1}{x}$ 

2. $\ln(1+\cos(x))=f\circ g(x),f(y)=\ln(y),\;g(x)=1+\cos(x)$

合成函數$f\circ g$ 的連續性其實是可以從$f,g$ 各自的連續性看出來的，以下介紹兩個有關於合成函數的連續性的定理。

定理1

若$f$ 在$b$ 點連續 (i.e $\lim_{y\to b}f(y)=f(b)$)，而且$\lim_{x\to a}g(x)=b$，則$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(b)$。換句話說

$$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$$

證明：

因為$\lim_{y\to b}f(y)=f(b)$，所以對任意$\epsilon>0$，存在$\delta(x)>0$ 使得

$$|y-b|<\delta(x)\implies |f(y)-f(b)|<\epsilon$$

又因為$\lim_{x\to a}g(x)=b$， 存在$\delta>0$ 使得

$$|x-a|<\delta\implies|g(x)-b|<\delta(\epsilon)$$

將前面的敘述串連「對任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得

$$|x-a|<\delta\implies |g(x)-b|<\delta(\epsilon)\implies|f(g(x))-f(b)|=|f(g(x))-f(\lim_{x\to a}g(x))|<\epsilon$$

」

換句話說，

$$\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))=f(b)$$

定理2

如果$f$ 在$a$ 點連續，$g$ 在$f(a)$ 點連續，則$g\circ f$ 在$a$ 點連續。

證明：

由於$\lim_{y\to f(a)}=g(f(a))$，對任意$\epsilon>0$，都能找到一個$\delta(\epsilon)>0$ 使得 
$$|y-f(a)|<\delta(\epsilon)\implies |g(y)-g(f(a))|<\epsilon$$
又因為$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$，所以能夠找到一個$\delta_2$，使得
$$|x-a|<\delta_2\implies|f(x)-f(a)|<\delta(\epsilon)$$
結合以上，對任意$\epsilon>0$，都存在$\delta_2>0$，使得
$$|x-a|<\delta_2\implies|f(x)-f(a)|<\delta(\epsilon)\implies|g(f(x))-g(f(a))|<\epsilon$$
所以$\lim_{x\to(a)}g(f(x))=g(f(a))$，也就是$g\circ f$ 在$a$ 點連續。