內積以及它的連續性

在一個向量空間當$V$ 中，內積指的是一個二元運算$V\times V\to\mathbb{C}$，必須滿足以下性質

1. $(x+z,y)=(x,y)+(z,y)$，其中$x,y$ 是$V$ 中的任意向量。
2. $\overline{(x,y)}=(y,x)$
3. $(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$，其中$\alpha\in\mathbb{R}$，$x,y$ 是$V$ 中的任意向量。
4. $(x,x)\geq 0$ 對任意$x\in V$。
5. $(x,x)=0\iff x=0\in V$

Cauchy–Schwarz inequality

$$|(x,y)|\leq (x,x)(y,y)$$

Example

若我們考慮向量空間 $\mathbb{R}^n$ ，以及定義兩向量$x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)$ 的內積為

$$(x,y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$

那麼Cauchy–Schwarz inequality 告訴我們

$$|x_1y_1+\cdots+ x_ny_n|\leq (x_1^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+\cdots +y_n^2)$$

推導

對任意$x\in\mathbb{R}$
$$\begin{align*} & & &(a_1x+b)^2+\cdots +(a_nx+b)^2 &\geq 0\\ &\implies & &(a_1^2+\cdots +a_n^2)x^2+2(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+\cdots+ b_n^2)&\geq 0\\ \end{align*}$$
令$x=-(\sum_{k=1}^n a_kb_k)/(\sum_{k=1}^n a_k^2)$，推得
$$\begin{align*} &&0&\leq(\sum_{k=1}^n a_k^2)\Big(\frac{(\sum_{k=1}^n a_kb_k)}{(\sum_{k=1}^n a_k^2)}\Big)^2 -2\frac{(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2}{(\sum_{k=1}^n a_k^2)}+(\sum_{k=1}^n b_k^2)\\ &\implies &(\sum_{k=1}^n a_kb_k)^2&\leq (\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2) \end{align*}$$

證明 Cauchy–Schwarz inequality

對任何$r\in\mathbb{C}$，皆滿足$(x+ry,x+ry)\geq 0$，推得
$$\begin{align*} 0\leq\|x\|^2+r(y,x)+\overline{r}(y,x)+|r|^2\|y\|^2 \end{align*}$$
令
$$r=(-1)\frac{(x,y)}{\|y\|^2},\;\overline{r}=(-1)\frac{(y,x)}{\|y\|^2},\;|r|=\frac{|(x,y)|}{\|y\|^2}$$
帶回到上式，得到
$$\begin{align*} & & 0&\leq\|x\|^2-2\frac{|(x,y)|^2}{\|y\|^2}+\frac{|(x,y)|^2}{\|y\|^2}\\ &\implies& 0&\leq \|x\|^2\|y\|^2-|(x,y)|^2\\ &\implies& |(x,y)|^2&\leq \|x\|^2\|y\|^2\\ &\implies& |(x,y)|&\leq \|x\|\|y\| \end{align*}$$

Remark

用Cauchy–Schwarz inequality 能夠推導出函數
$$\begin{align*} f:X&\to Y\\ x&\mapsto(y,x) \end{align*}$$
是連續函數