分數除法

除數為整數

我們人生當中第一次學到除法，是將除法理解為「平分」。「$9\div 3=3$ 的意思就是將$9$ 個東西平分成 $3$份，每一份有$3$」，諸如此類。但這種對除法的具象化理解，到了除數變成分數的時候，就無法使用了。($5\div\frac{2}{3}$，把$5$ 個東西分給$\frac{2}{3}$ 個人？)

除數為分數

於是我們必須對除法有新的理解，而這個裡解就是，當我們在求$a\div b$ 的時候，我們其實在問「$a$ 是由$b$個『什麼』構成的？」，或是換另一種說法，「$a\div b=c$ 的意思就是$a$ 是由$b$ 個$c$ 構成的（也可以表達成$a=b\times c$）」。

那首先我們要先確認一下，上面這兩種解釋在除數為整數時是相同的。也就是要確認，當$m,n$ 是整數的時候，「$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$」和「$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的」是同一回事。 其實很直觀，將$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$，也就是說，把這$n$ 份$x$ 合再一起，就能得到$m$ ，因此$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的。在此我們確認完成！

先來看一題目：$5\div\frac{2}{3}=x$。

依據我們對除法的新理解，上面這個方程式描述的是「$5$ 是由$x$ 個$\frac{2}{3}$ 構成的」。

由於$3$ 個$\frac{2}{3}$ 是$2$，$\frac{1}{2}$ 個$2$ 是$1$，而$5$ 個$1$ 是$5$，因此$3\times\frac{1}{2}\times 5=\frac{15}{2}$ 個$\frac{2}{3}$ 是$5$ ，因此$x=15$。

結語

如果是能夠裡解除跟乘法互為反運算，那就能有以下這個等價關係

$$a\div b=c\iff c\times b=a$$

那在計算

$$m\div\frac{r}{q}=x\iff x\times \frac{r}{q}=m$$

那由於

$$\big(m\times\frac{q}{r}\big)\times\frac{r}{q}=m\implies x=m\times \frac{q}{r}$$

我們才有結論$m\div\frac{r}{q}=m\times\frac{q}{r}$。

或是如果能夠理解除法其實和乘法反元素相乘，那也可以變成去找$\frac{r}{q}$ 的乘法反元素，也就是$\frac{q}{r}$，然後與之相乘。

其實對於除法運算的拓展，有很多想像的切入點，取決於你現在的數學程度，或是你的受眾。

以上只是一個很粗略的分享~