查德在科一

Taiwanese addresses, while appearing complex at first glance, follow a structured system that makes navigation straightforward once you understand the components. Unlike many Western countries that start with the house number, Taiwan's addresses generally begin with the largest administrative division and narrow down to the smallest. A typical address in Taiwan starts with the city (市 shì) or county (縣xiàn), followed by the district (區qū), or in some cases, the township (鎮zhèn) or village (鄉xiāng).  Next comes the road (路lù) or street (街jiē) name, often divided into sections (段duàn). These sections are numbered, and you'll commonly see numbers like "一段" (Section 1), "二段" (Section 2), and so on. After the road and section, you'll find the lane (巷xiàng) number, followed by the alley (弄nòng) number if applicable. Finally, the address concludes with the house number (號hào), which might also include a floor (樓lóu) or apartment number (室shì).  Sometimes, a ...

For us Chinese speakers, we don't really care about when an action happened or in what state   it occurred. It's not just tenses; many grammatical concepts present in English like the indispensability of "subject, verb, object" or clear distinction between main and subordinate clauses—simply don't exist in Chinese. This isn't a flaw in Chinese; rather, it highlights that Chinese prioritizes different aspects when describing the world and expressing ideas. English is like LEGOs, with strict rules for how pieces fit together—studs into anti-studs. Chinese, on the other hand, is like clay. You can mold it here, knead it there, and no one can really say you're wrong. As Professor Liu Mei-chun puts it, English is sentence-oriented, while Chinese is context-oriented. English relies on its grammatical system, whereas Chinese values the art of "leaving space" (implying meaning without explicit words). # language

 上次提到，相同的向量，會因為基於不同的基本向量，而有不同的表示法。向量的表示法，不只要存在，還要唯一。以下我們舉兩個例子，你向量表示法可能不存在，也可能不唯一。 例子1 令$v=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}$ $$\beta=\left\{ \begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}\right\} $$ 我們檢查$v$ 在$\beta$ 之下的表示法式什麼，也就是計算$[v]_{\beta}$。 還記得什麼是$[v]_{\beta}$ 嗎？複習一下！$[v]_{\beta}$ 一組係數$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$，其中滿足 $$v=a\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix} +b\cdot\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix}+c\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}$$ 也就是說要解以下線性方程組 $$\begin{cases}a&+&3b&+&c&=&2\\-a&-&b&+&c&=&1\\2a&+&b&-&3c&=&2\end{cases}$$ 以下是解此方程的過程。 $$\begin{align}\tag{1}\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\-1 & -1 & 1 & \mid & 0 \\2 & 1 & -3 & \mid & 1\end{bmatrix}&\to\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\0 & 2 & 2 & \mid & 2 \\2 & 1 & -3...

 第一次接觸向量是在高中，那時接觸到的是平面向量，也就是$\mathbb{R}^2$ 向量。那個時候我們被教說：「向量就是有方向有長度的箭頭。我們把箭頭的根部移到原點，看看箭頭的頂點位於哪個座標，就用該座標來代表該向量。」 以至於說，除了用箭頭代表向量，也同時會用數對$(x_{1},y_{1})$ 代表。 用數對代表向量是一個好方法。畢竟若是用箭頭來作為代表向量的主要方式，無論是在運算上，溝通上，寫作上，一定都相當不方便。 現在我們長大了，大學了，學到了抽象向量，知道向量不再只是箭頭，向量也可能是多項式、矩陣、函數、數列等等。然而，我們還是希望能夠像在高中時，用數對來表達那些醜陋的向量。所以我們以下我們要開始介紹究竟用數對表達向量的精神是什麼？以及我們該如何延續這個精神！ The representation of vector 當我們要幫一個向量取名字，我們需要一點依據。比方說，當我們想幫 取一個名字，很自然的會想要取$(3,2)$，因為這個向量就是從原點指到$(3,2)$ 嘛，就這麼簡單！但事實上，其實我們有隱藏了兩個 基本向量 在這個情境之中。 如圖所示，紅色的與藍色的。而原先的向量是三個紅色向量加兩個藍色向量，所以我們稱黑色向量為$(3,2)$。 但如果今天心血來潮，你說：「這個基本向量爛透了，我不喜歡！我要換一個！」，可不可以？可以！我們現在換換看。 如上圖，我們令上圖的紅色向量與藍色向量為新的基本向量。如此一來，原本的黑色向量還會是3個紅色向量加2個藍色向量嗎？當然不會。 所以問題來了！原本的那個黑色箭頭，是多少個新紅色箭頭，加多少的新藍色箭頭？我們看下圖。 由於原本那個黑色的向量是2個新紅色向量加3個新藍色向量，所以我們會說：「在這個基本向量的設定之下，黑色向量的表示法為$(2,3)$」 由前面的討論，我們觀察出一件重要的事情：「**不同基本向量的設定，會讓同樣的向量，有不同的表示方法。**」 例子 我們以$\mathbb{R}^3$ 向量為例，如果我令$v=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$，我設定基本向量為 $$\beta=\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bma...

粗略的說， 線性變換（linear transform） ，是指一個從一個向量空間到另一個向量空間（或同一向量空間）的映射，該映射保持向量的加法和數量乘法運算。 具體而言，令 $V$ 和 $W$ 是兩個向量空間，則一個 線性變換  $T: V \to W$ ，是一個從$V$ 到$W$ 的函數，並且滿足以下兩個條件： 對於所有的 $u, v \in V$，有 $T(u + v) = T(u) + T(v)$ 對於所有的 $v \in V$ 和純量 $\alpha \in \mathbb{R}$， $$T(\alpha v) = \alpha T(v)。$$ What does a linear transformation look like? 高中的時候我們怎麼描述一個函數嗎？高中時，我們最常面對的是 實數函數 ，更仔細地說，是 從實數映射到實數 的函數。在那個時候，我們通常這麼說：「我們定義函數$f$，為$f(x)=2x+4$」。我們仔細去體會這句話，$f$ 是函數的名字，而「$f(x)=2x+4$」 是定義函數的方法。有了這個定義，我們就能夠任意地將數子填入$x$的欄位，來表達。我們會用$f(2)$ 來 表達 「對這個函數輸入$2$時的輸出」，我們會用「$2\times 2+4$」 來 計算 「輸入$2$ 時的函數值」。這一切，同樣會繼承到我們在今天面對線性轉換的時刻。 回顧那些常見的向量空間，有column vector space、polynomial space、matrix space等等，線性轉換可以在不同的向量空間之中做轉換，例如說，從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換、從$\mathbb{R}^3$ 到$P_{3}$ 的轉換，或是說從$M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ 到$\mathbb{R} ^4$ 的轉換。以下一一舉例。 從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換 我們定義線性轉換$T_1 :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ $$T_1\left(\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a_{1}+a_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}$...

RREF與線性獨立之間的關係 如果我們現在有五個向量 $$v_{1}=\begin{bmatrix}1\\-2\\2\end{bmatrix},\;v_{2}=\begin{bmatrix}2\\-4\\4\end{bmatrix},\;v_{3}=\begin{bmatrix}0\\-2\\0\end{bmatrix},\;v_{4}=\begin{bmatrix}3\\0\\7\end{bmatrix},\;v_{5}=\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix}$$ 我想要知道這五個向量是否為 線性獨立 ，若不是，那是否意味著當中 某一些向量，可以寫成其他向量的線性組合 。 當我們問到「 哪一些向量，可以 寫 成其他向量的線性組合？ 」關於這個問題，似乎會想到要分成五個問題來討論 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 使得$v_{5}=v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}+v_{4}x_{4}$， 是否存在係數$y_{1},y_{2},y_{3},y_{5}$ 使得$v_{4}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3}+v_{5}y_{5}$，等等.. 而每一個問題，好像都要做一次高斯消去法，才能夠得到解答。有沒有辦法簡化這個過程呢？ 事實上，有的，我們不再考慮「 向量$v_{1},\dots,v_{5}$ 當中，是否有向量可以寫成另外四個向量的線性組合 」的問題，而是試著解決「 向量$v_{1},\dots,v_{5}$ 當中是否有向量，可以寫成前面的向量的線性組合 」，也就是 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 使得$v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}+v_{4}x_{4}=v_{5}$， 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3}$ 使得 $v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}=v_{4}$ 是否存在係數$x_{1},x_{2}$ 使得 $v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}=v_{3}$ 是否存在係數$x_{1}$ 使得 $v_{1}x_{1}=v_{2}$ 以下我們針對這4個問題詳細討論。 問題一 其中第一個問題，「 是否存在係數$x_{1},x_{2...