查德在科一

 第一次接觸向量是在高中，那時接觸到的是平面向量，也就是$\mathbb{R}^2$ 向量。那個時候我們被教說：「向量就是有方向有長度的箭頭。我們把箭頭的根部移到原點，看看箭頭的頂點位於哪個座標，就用該座標來代表該向量。」 以至於說，除了用箭頭代表向量，也同時會用數對$(x_{1},y_{1})$ 代表。 用數對代表向量是一個好方法。畢竟若是用箭頭來作為代表向量的主要方式，無論是在運算上，溝通上，寫作上，一定都相當不方便。 現在我們長大了，大學了，學到了抽象向量，知道向量不再只是箭頭，向量也可能是多項式、矩陣、函數、數列等等。然而，我們還是希望能夠像在高中時，用數對來表達那些醜陋的向量。所以我們以下我們要開始介紹究竟用數對表達向量的精神是什麼？以及我們該如何延續這個精神！ The representation of vector 當我們要幫一個向量取名字，我們需要一點依據。比方說，當我們想幫 取一個名字，很自然的會想要取$(3,2)$，因為這個向量就是從原點指到$(3,2)$ 嘛，就這麼簡單！但事實上，其實我們有隱藏了兩個 基本向量 在這個情境之中。 如圖所示，紅色的與藍色的。而原先的向量是三個紅色向量加兩個藍色向量，所以我們稱黑色向量為$(3,2)$。 但如果今天心血來潮，你說：「這個基本向量爛透了，我不喜歡！我要換一個！」，可不可以？可以！我們現在換換看。 如上圖，我們令上圖的紅色向量與藍色向量為新的基本向量。如此一來，原本的黑色向量還會是3個紅色向量加2個藍色向量嗎？當然不會。 所以問題來了！原本的那個黑色箭頭，是多少個新紅色箭頭，加多少的新藍色箭頭？我們看下圖。 由於原本那個黑色的向量是2個新紅色向量加3個新藍色向量，所以我們會說：「在這個基本向量的設定之下，黑色向量的表示法為$(2,3)$」 由前面的討論，我們觀察出一件重要的事情：「**不同基本向量的設定，會讓同樣的向量，有不同的表示方法。**」 例子 我們以$\mathbb{R}^3$ 向量為例，如果我令$v=\begin{bmatrix}2\\-1\\3\end{bmatrix}$，我設定基本向量為 $$\beta=\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bma...

粗略的說， 線性變換（linear transform） ，是指一個從一個向量空間到另一個向量空間（或同一向量空間）的映射，該映射保持向量的加法和數量乘法運算。 具體而言，令 $V$ 和 $W$ 是兩個向量空間，則一個 線性變換  $T: V \to W$ ，是一個從$V$ 到$W$ 的函數，並且滿足以下兩個條件： 對於所有的 $u, v \in V$，有 $T(u + v) = T(u) + T(v)$ 對於所有的 $v \in V$ 和純量 $\alpha \in \mathbb{R}$， $$T(\alpha v) = \alpha T(v)。$$ What does a linear transformation look like? 高中的時候我們怎麼描述一個函數嗎？高中時，我們最常面對的是 實數函數 ，更仔細地說，是 從實數映射到實數 的函數。在那個時候，我們通常這麼說：「我們定義函數$f$，為$f(x)=2x+4$」。我們仔細去體會這句話，$f$ 是函數的名字，而「$f(x)=2x+4$」 是定義函數的方法。有了這個定義，我們就能夠任意地將數子填入$x$的欄位，來表達。我們會用$f(2)$ 來 表達 「對這個函數輸入$2$時的輸出」，我們會用「$2\times 2+4$」 來 計算 「輸入$2$ 時的函數值」。這一切，同樣會繼承到我們在今天面對線性轉換的時刻。 回顧那些常見的向量空間，有column vector space、polynomial space、matrix space等等，線性轉換可以在不同的向量空間之中做轉換，例如說，從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換、從$\mathbb{R}^3$ 到$P_{3}$ 的轉換，或是說從$M_{2\times 3}(\mathbb{R})$ 到$\mathbb{R} ^4$ 的轉換。以下一一舉例。 從$\mathbb{R}^2$ 到$\mathbb{R}^2$的轉換 我們定義線性轉換$T_1 :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ $$T_1\left(\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}a_{1}+a_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}$...

RREF與線性獨立之間的關係 如果我們現在有五個向量 $$v_{1}=\begin{bmatrix}1\\-2\\2\end{bmatrix},\;v_{2}=\begin{bmatrix}2\\-4\\4\end{bmatrix},\;v_{3}=\begin{bmatrix}0\\-2\\0\end{bmatrix},\;v_{4}=\begin{bmatrix}3\\0\\7\end{bmatrix},\;v_{5}=\begin{bmatrix}2\\2\\5\end{bmatrix}$$ 我想要知道這五個向量是否為 線性獨立 ，若不是，那是否意味著當中 某一些向量，可以寫成其他向量的線性組合 。 當我們問到「 哪一些向量，可以 寫 成其他向量的線性組合？ 」關於這個問題，似乎會想到要分成五個問題來討論 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 使得$v_{5}=v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}+v_{4}x_{4}$， 是否存在係數$y_{1},y_{2},y_{3},y_{5}$ 使得$v_{4}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3}+v_{5}y_{5}$，等等.. 而每一個問題，好像都要做一次高斯消去法，才能夠得到解答。有沒有辦法簡化這個過程呢？ 事實上，有的，我們不再考慮「 向量$v_{1},\dots,v_{5}$ 當中，是否有向量可以寫成另外四個向量的線性組合 」的問題，而是試著解決「 向量$v_{1},\dots,v_{5}$ 當中是否有向量，可以寫成前面的向量的線性組合 」，也就是 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 使得$v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}+v_{4}x_{4}=v_{5}$， 是否存在係數$x_{1},x_{2},x_{3}$ 使得 $v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}+v_{3}x_{3}=v_{4}$ 是否存在係數$x_{1},x_{2}$ 使得 $v_{1}x_{1}+v_{2}x_{2}=v_{3}$ 是否存在係數$x_{1}$ 使得 $v_{1}x_{1}=v_{2}$ 以下我們針對這4個問題詳細討論。 問題一 其中第一個問題，「 是否存在係數$x_{1},x_{2...

Definition of Sum If $S_{1}$ and $S_{2}$ are nonempty subset of a vector space $V$, then the **sum** of $S_{1}$ and $S_{2}$, denoted $S_{1}+S_{2}$, is the set $\left\{ x+y:x \in S_{1} \text{ and }y\in S_{2} \right\}$. 23 Let $W_{1}$ and $W_{2}$ be subspaces of a vector space $V$. Show that $W_{1}+W_{2}$ is a subspace of $V$ that contains both $W_{1}$ and $W_{2}$ 根據課本17頁的說明，我們只需證明以下三點 1. $W_{1}+W_{2}$ 包含著$V$ 的零向量 2. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的向量加法之下有封閉性 3. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的純量積運算之下有封閉性 以下我們逐一證明： 包含零向量 由於$W_{1}$ 以及$W_{2}$ 都是$V$ 的子空間，所以零向量分別存在於$W_{1}$ 以及$W_{2}$，也就是說 $$0\in W_{1},\text{ and }0\in W_{2}$$ 又因為零向量可以寫成零向量的和，也就是$0=0+0$，所以 $$0\in W_{1}+W_{2}$$ 向量加法封閉性 令$v,u\in W_{1}+W_{2}$，也是說存在$W_{1}$中的向量$x_{1},x_{2}\in W_{1}$，以及 $W_{2}$ 中的向量$y_{1},y_{2}\in W_{2}$ ，使得 $$v=x_{1}+y_{1},\text{ and }u=x_{2}+y_{2}$$ 如此一來， $$v+u=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})$$ 由於$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ 這四個向量都是$V$ 中的向量，所以我們可以使用*結合律*以及*分配律* 來接著推導 $$v+u=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\tag{1}$$ 注意，由於$W_{1}$ 是子空間，而且$x_{1},x_{2}\in...

 關於自然常數$e$ 有很多等價的定義，如以下： $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$ 而對於其所延伸出來的自然指數函數$f(x)=e^x$ 我們有以下定義： $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}\cdots$$ 在數學的世界，自然常數有許多特殊的性質使得它無處不見。其中一個就是自然常數是無理數，也就是無法表示為兩個整數相除，用數學的語言表達就是： $$\frac{p}{q}\neq \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!}\right),\;\forall p,q\in\mathbb{Z}$$ 以下開始證明 證明： 這個證明是參考Apostol 的Mathmatical Analysis 當中的Theorem 1.11，有興趣的可以自行參考。 首先我們有 $$e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}$$ 接著我們計算$e^{-1}$ 與級數部分和的差： $$\begin{align}e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}&=\sum_{k=2N}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\\&=\frac{1}{(2N)!}-\frac{1}{(2N+1)!}+\frac{1}{(2N+2)!}-\frac{1}{(2N+3)!}+\frac{1}{(2N+4)!}\cdots\\&\leq\frac{1}{(2N)!}\end{align}$$ 推得 $$\begin{equation}0\leq (2N-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2N}\leq\frac{1}{2}\end{equation}$$ 其中$(2N-1)!\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\...

除數為整數 我們人生當中第一次學到除法，是將除法理解為「平分」。「$9\div 3=3$ 的意思就是將$9$ 個東西平分成 $3$份，每一份有$3$」，諸如此類。但這種對除法的具象化理解，到了除數變成分數的時候，就無法使用了。($5\div\frac{2}{3}$，把$5$ 個東西分給$\frac{2}{3}$ 個人？) 除數為分數 於是我們必須對除法有新的理解，而這個裡解就是，當我們在求$a\div b$ 的時候，我們其實在問「$a$ 是由$b$個『什麼』構成的？」，或是換另一種說法，「$a\div b=c$ 的意思就是$a$ 是由$b$ 個$c$ 構成的（也可以表達成$a=b\times c$）」。 那首先我們要先確認一下，上面這兩種解釋在除數為整數時是相同的。也就是要確認，當$m,n$ 是整數的時候，「$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$」和「$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的」是同一回事。 其實很直觀，將$m$ 平分成$n$ 份，每一份有$x$，也就是說，把這$n$ 份$x$ 合再一起，就能得到$m$ ，因此$m$ 是由$n$ 個 $x$ 構成的。在此我們確認完成！ 先來看一題目：$5\div\frac{2}{3}=x$。 依據我們對除法的新理解，上面這個方程式描述的是「$5$ 是由$x$ 個$\frac{2}{3}$ 構成的」。 由於$3$ 個$\frac{2}{3}$ 是$2$，$\frac{1}{2}$ 個$2$ 是$1$，而$5$ 個$1$ 是$5$，因此$3\times\frac{1}{2}\times 5=\frac{15}{2}$ 個$\frac{2}{3}$ 是$5$ ，因此$x=15$。 結語 如果是能夠裡解除跟乘法互為反運算，那就能有以下這個等價關係 $$a\div b=c\iff c\times b=a$$ 那在計算 $$m\div\frac{r}{q}=x\iff x\times \frac{r}{q}=m$$ 那由於 $$\big(m\times\frac{q}{r}\big)\times\frac{r}{q}=m\implies x=m\times \frac{q}{r}$$ 我們才有結論$m\div\frac{r}{q}=m\times\frac{q}{r}$。 或是如果能夠理解除法其實和乘法反元素相乘，那也可以變成去找...