上次提到，相同的向量，會因為基於不同的基本向量，而有不同的表示法。向量的表示法，不只要存在，還要唯一。以下我們舉兩個例子，你向量表示法可能不存在，也可能不唯一。
例子1
令v=[201]
β={[1−12],[3−11],[11−3]}
我們檢查v 在β 之下的表示法式什麼，也就是計算[v]β。
還記得什麼是[v]β 嗎？複習一下！[v]β 一組係數[abc]，其中滿足
v=a⋅[1−12]+b⋅[3−11]+c⋅[11−3]
也就是說要解以下線性方程組
{a+3b+c=2−a−b+c=12a+b−3c=2
以下是解此方程的過程。
[131∣2−1−11∣021−3∣1]→[131∣2022∣221−3∣1]→[131∣2022∣20−5−5∣−3]→[131∣2011∣1000∣2]。
從最後的RRED可已得知，該線性方程無解，也就是說無法找到係數a,b,c 使得[v]β=[abc]。這就是一個表示法不存在的例子。
例子2
我們看這個例子，我們令u=[5−10]，我們會發現若是以β 為基礎來找u，表示法，會以下兩個解
u=[5−10]=1⋅[1−12]+1⋅[3−11]+1⋅[11−3]
以及
u=[5−10]=(−1)⋅[1−12]+2⋅[3−11]+0⋅[11−3]
所以是否意味著[u]β=[111] ，或是[u]β=[−120]？錯！事實上，我們一點也不希望同個向量有不同的表示（representation）！但是該如何避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法呢？
以下是一個重要的事實，我們先把敘述出來。
Proposition
令V 是一個向量空間，令S={u1,u2,…,un}⊂V 是一個線性獨立集合。若span(S)=V，則對於所有v∈V ，都存在唯一係數x1,x2,…,xn∈R 使得
v=n∑i=1xiui
以下我們證明這個性質。首先，由於span(S)=V 的原因，我們無需多加證明存在性的問題。至於唯一性，我們需要花一點篇幅稍微證明。假設存在兩組係數，x1,x2,…,xn 以及y1,y2,…,yn 滿足
v=n∑i=1xiui=n∑i=1yiui
則
0=n∑i=1xiui−n∑i=1yiui=n∑i=1(xiui−yiui)=n∑i=1(xi−yi)ui
因為S 是線性獨立，推得
x1−y1=x2−y2=⋯=xn−yn=0
所以
x1=y1,x2=y2,…,xn=yn
證明完成。
結論
回到剛才的問題，「該如何避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法」，解法就是我們要選一個能夠生成目標空間的獨立子集合。這個集合不見得唯一，也不見得存在，但是這卻是「避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法」的必要條件。而我們幫這種集合，或是說這一些向量，取一個很fancy的名字，叫做基底（basis）。
Definition of basis (Linear Algebra, written by S. Friedberg, A. Insel, L.Spence, in 2018)
A basis β for a vector space V is a linear independent subset of V that generates V. If β is a basis for V, we also say that the vector of β form a basis for V.
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