上次提到，相同的向量，會因為基於不同的基本向量，而有不同的表示法。向量的表示法，不只要存在，還要唯一。以下我們舉兩個例子，你向量表示法可能不存在，也可能不唯一。


例子1

令$v=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}$

$$\beta=\left\{ \begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}\right\} $$

我們檢查$v$ 在$\beta$ 之下的表示法式什麼，也就是計算$[v]_{\beta}$。


還記得什麼是$[v]_{\beta}$ 嗎？複習一下！$[v]_{\beta}$ 一組係數$\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$，其中滿足

$$v=a\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix} +b\cdot\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix}+c\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}$$

也就是說要解以下線性方程組

$$\begin{cases}a&+&3b&+&c&=&2\\-a&-&b&+&c&=&1\\2a&+&b&-&3c&=&2\end{cases}$$

以下是解此方程的過程。


$$\begin{align}\tag{1}\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\-1 & -1 & 1 & \mid & 0 \\2 & 1 & -3 & \mid & 1\end{bmatrix}&\to\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\0 & 2 & 2 & \mid & 2 \\2 & 1 & -3 & \mid & 1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\0 & 2 & 2 & \mid & 2 \\0 & -5 & -5 & \mid & -3\end{bmatrix}\\&\to\begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & \mid & 2 \\0 & 1 & 1 & \mid & 1 \\0 & 0 & 0 & \mid & 2\end{bmatrix}\\\end{align}。$$

從最後的RRED可已得知，該線性方程無解，也就是說無法找到係數$a,b,c$ 使得$[v]_{\beta}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$。這就是一個表示法不存在的例子。


例子2

我們看這個例子，我們令$u=\begin{bmatrix}5\\-1\\0\end{bmatrix}$，我們會發現若是以$\beta$ 為基礎來找$u$，表示法，會以下兩個解

$$u = \begin{bmatrix}5\\-1\\0\end{bmatrix}=1\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}$$

以及

$$u = \begin{bmatrix}5\\-1\\0\end{bmatrix}= (-1)\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}+2\cdot\begin{bmatrix}3\\-1\\1\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}$$

所以是否意味著$[u]_\beta=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ，或是$[u]_\beta=\begin{bmatrix}-1\\2\\0\end{bmatrix}$？錯！事實上，我們一點也不希望同個向量有不同的表示（representation）！但是該如何避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法呢？


以下是一個重要的事實，我們先把敘述出來。

Proposition

令$V$ 是一個向量空間，令$S=\{ u_{1},u_{2},\dots,u_{n} \}\subset V$ 是一個線性獨立集合。若$\text{span}(S)=V$，則對於所有$v \in V$ ，都存在唯一係數$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in \mathbb{R}$ 使得

$$v = \sum_{i=1}^n x_{i}u_{i}$$

以下我們證明這個性質。首先，由於$\text{span}(S)=V$ 的原因，我們無需多加證明存在性的問題。至於唯一性，我們需要花一點篇幅稍微證明。假設存在兩組係數，$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ 以及$y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ 滿足

$$v = \sum_{i=1}^n x_{i}u_{i}=\sum_{i=1}^n y_{i}u_{i}$$

則

$$\begin{align}0&=\sum_{i=1}^n x_{i}u_{i}-\sum_{i=1}^n y_{i}u_{i}\\&=\sum_{i=1}^n \left(   x_{i}u_{i}- y_{i}u_{i}\right)\\&=\sum_{i=1}^n \left(   x_{i}- y_{i}\right)u_{i}\end{align}$$

因為$S$ 是線性獨立，推得

$$x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}=\cdots=x_{n}-y_{n}=0$$

所以

$$x_{1}=y_{1},\;x_{2}=y_2,\;\dots,\;x_{n}=y_{n}$$

證明完成。

結論

回到剛才的問題，「該如何避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法」，解法就是我們要選一個能夠生成目標空間的獨立子集合。這個集合不見得唯一，也不見得存在，但是這卻是「避免向量有超過一種表示法，或是沒有表示法」的必要條件。而我們幫這種集合，或是說這一些向量，取一個很fancy的名字，叫做基底（basis）。


Definition of basis (Linear Algebra, written by S. Friedberg, A. Insel,  L.Spence, in 2018)

A basis $\beta$ for a vector space $V$ is a linear independent subset of $V$ that generates $V$. If $\beta$ is a basis for $V$, we also say that the vector of $\beta$ form a basis for $V$.

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