查德在科一

Definition of Sum If $S_{1}$ and $S_{2}$ are nonempty subset of a vector space $V$, then the **sum** of $S_{1}$ and $S_{2}$, denoted $S_{1}+S_{2}$, is the set $\left\{ x+y:x \in S_{1} \text{ and }y\in S_{2} \right\}$. 23 Let $W_{1}$ and $W_{2}$ be subspaces of a vector space $V$. Show that $W_{1}+W_{2}$ is a subspace of $V$ that contains both $W_{1}$ and $W_{2}$ 根據課本17頁的說明，我們只需證明以下三點 1. $W_{1}+W_{2}$ 包含著$V$ 的零向量 2. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的向量加法之下有封閉性 3. $W_{1}+W_{2}$ 在$V$ 的純量積運算之下有封閉性 以下我們逐一證明： 包含零向量 由於$W_{1}$ 以及$W_{2}$ 都是$V$ 的子空間，所以零向量分別存在於$W_{1}$ 以及$W_{2}$，也就是說 $$0\in W_{1},\text{ and }0\in W_{2}$$ 又因為零向量可以寫成零向量的和，也就是$0=0+0$，所以 $$0\in W_{1}+W_{2}$$ 向量加法封閉性 令$v,u\in W_{1}+W_{2}$，也是說存在$W_{1}$中的向量$x_{1},x_{2}\in W_{1}$，以及 $W_{2}$ 中的向量$y_{1},y_{2}\in W_{2}$ ，使得 $$v=x_{1}+y_{1},\text{ and }u=x_{2}+y_{2}$$ 如此一來， $$v+u=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})$$ 由於$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ 這四個向量都是$V$ 中的向量，所以我們可以使用*結合律*以及*分配律* 來接著推導 $$v+u=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\tag{1}$$ 注意，由於$W_{1}$ 是子空間，而且$x_{1},x_{2}\in