自然常數為何是無理數
關於自然常數$e$ 有很多等價的定義，如以下： $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$ $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$ 而對於其所延伸出來的自然指數函數$f(x)=e^x$ 我們有以下定義： \[e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}\cdots\] 在數學的世界，自然常數有許多特殊的性質使得它無處不見。其中一個就是自然常數是無理數，也就是無法表示為兩個整數相除，用數學的語言表達就是： \[\frac{p}{q}\neq \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^N\frac{1}{n!}\right),\;\forall p,q\in\mathbb{Z}\] 以下開始證明 證明： 這個證明是參考Apostol 的Mathmatical Analysis 當中的Theorem 1.11，有興趣的可以自行參考。 首先我們有 \[e^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\] 接著我們計算$e^{-1}$ 與級數部分和的差： \begin{align}e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}&=\sum_{k=2N}^\infty\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\\&=\frac{1}{(2N)!}-\frac{1}{(2N+1)!}+\frac{1}{(2N+2)!}-\frac{1}{(2N+3)!}+\frac{1}{(2N+4)!}\cdots\\&\leq\frac{1}{(2N)!}\end{align} 推得 \begin{equation}0\leq (2N-1)!\left(e^{-1}-\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\right)^{k}\right)\leq\frac{1}{2N}\leq\frac{1}{2}\end{equation} 其中$(2N-1)!\sum_{k=0}^{2N-1}\left(\frac{-1}{k!}\righ